Контрольная «Доказать, что 2n + 7n делится на 3 при нечетных n.»,
Дискретная математика в Новосибирске

Доказать, что 2n + 7n делится на 3 при нечетных n. 1.2. Имеется по 10 одинаковых шаров красного, синего и зеленого цветов. Сколько существует способов разложить их по четырем ящикам так, чтобы в каждом были шары только одного цвета. 2.1. Обозначить элементарные высказывания из следующего текста пропозициональными переменными. Записать формулу логики высказываний, отражающую содержание этого текста. У Изольды очень загруженный рабочий день. Она обязательно должна разложить пасьянс, позво- нить подруге или посетить интернет-магазин. Если заглянет начальник, то она переложит бумажку из одной стопки в другую. Если пасьянс не сойдется, то Изольда будет сидеть «В контакте», а ес- ли сойдется — в «Одноклассниках». Если она будет сидеть «В контакте» и не позвонит подруге, то она не будет ни посещать интернет-магазин, ни перекладывать бумажки. Если Изольда посетит интернет-магазин и будет сидеть в «Одноклассниках», то она не станет раскладывать пасьянс. 2.2. Построить таблицу истинности для формулы (c ? a) ? ((a ? b) ? (c ? ¬b)). 2.3. Построить для формулы из п.2 эквивалентные совершенную КНФ, совершенную ДНФ, сокращенную ДНФ и многочлен Жегалкина. 2.4. При лексикографическом упорядочении наборов аргументов булевы функции f и g задаются сле- дующими значениями: f = (11000111), g = (01101000). Проверить для каждой из функций все пять свойств, упоминаемых в теореме Поста. Сделать вывод о полноте или неполноте множества {f,g}. Если это множество полно, показать, как можно представить отрицание и конъюнкцию (или дизъ- юнкцию). Если неполно — указать, какая булева функция не может быть построена. 3.1. Предметной областью является некоторое множество людей; P(x,y) означает, что x — родитель y; S(x,y) означает, что x и y состоят в браке; M(x) означает, что x — мужчина. Записать формулу, имеющую одну свободную переменную x и означающую, что у x есть бабушка, не состоящая в браке. Пояснить значение отдельных частей формулы. 3.2. Предметной областью является множество действительных чисел, A(x, y, z) означает x + y = z, M (x, y, z) означает x?y = z, x < y — обычный порядок. Определить, будет ли в такой интерпретации истинна формула, ответ пояснить: (?x)(M (x, x, x) ? (?u)(?v)(A(u, x, v) ? u < v ? M (v, x,